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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,直线与x 轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1①B1,024,P(-23;3)存在M102,M2(-3,2, M32,-3,M45,-18, 使得以点 AMN为顶点的三角形与△ABC相似.

【解析】试题分析:(1先求的直线y=x+2x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;设抛物线的解析式为y=y=ax+4)(x﹣1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;

2)设点PQ的横坐标为m,分别求得点PQ的纵坐标,从而可得到线段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得SPAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;

3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:M点与C点重合,即M02)时,△MAN∽△BAC根据抛物线的对称性,当M﹣32)时,△MAN∽△ABC当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.

试题解析:(1①y=x+2

x=0时,y=2,当y=0时,x=﹣4

∴C02),A﹣40),

由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=﹣对称,

B的坐标为(10).

②∵抛物线y=ax2+bx+cA﹣40),B10),

可设抛物线解析式为y=ax+4)(x﹣1),

抛物线过点C02),

∴2=﹣4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2

2)设Pm-m2-m+2).

过点PPQ⊥x轴交AC于点Q

∴Qmm+2),

∴PQ=-m2-m+2﹣m+2

=-m2﹣2m

∵SPAC=×PQ×4

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣m+22+4

m=﹣2时,△PAC的面积有最大值是4

此时P﹣23).

3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=Rt△BOC中,tan∠BCO=

∴∠CAO=∠BCO

∵∠BCO+∠OBC=90°

∴∠CAO+∠OBC=90°

∴∠ACB=90°

∴△ABC∽△ACO∽△CBO

如下图:

M点与C点重合,即M02)时,△MAN∽△BAC

根据抛物线的对称性,当M﹣32)时,△MAN∽△ABC

当点M在第四象限时,设Mn-n2-n+2),则Nn0

∴MN=n2+n﹣2AN=n+4

时,MN=AN,即n2+n﹣2=n+4

整理得:n2+2n﹣8=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=2

∴M2﹣3);

时,MN=2AN,即n2+n﹣2=2n+4),

整理得:n2﹣n﹣20=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=5

∴M5﹣18).

综上所述:存在M102),M2﹣32),M32﹣3),M45﹣18),使得以点AMN为顶点的三角形与△ABC相似.

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