【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,直线与x 轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①B(1,0)②(2)4,P(-2,3);(3)存在M1(0,2),M2(-3,2), M3(2,-3),M4(5,-18), 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
【解析】试题分析:(1)①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;
(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.
试题解析:(1)①y=x+2
当x=0时,y=2,当y=0时,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=﹣对称,
∴点B的坐标为(1,0).
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣4,0),B(1,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2.
(2)设P(m,-m2-m+2).
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,
∴Q(m,m+2),
∴PQ=-m2-m+2﹣(m+2)
=-m2﹣2m,
∵S△PAC=×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴当m=﹣2时,△PAC的面积有最大值是4,
此时P(﹣2,3).
(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下图:
①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;
③ 根据抛物线的对称性,当M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC;
④ 当点M在第四象限时,设M(n,-n2-n+2),则N(n,0)
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4
当时,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
当时,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
综上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块E,H可分别沿等长的立柱AB,DC上下移动,AF=EF=FG=1m.
(1)若移动滑块使AE=EF,求∠AFE的度数和棚宽BC的长.
(2)当∠AFE由60°变为74°时,问棚宽BC是增加还是减少?增加或减少了多少?(结果精确到0.1m.参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.
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【题目】一天早晨,小玲从家出发匀速步行到学校,小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品,于是立即下楼骑自行车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲,妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回家里,但由于路上行人渐多,妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半,小玲继续以原速度步行前往学校,妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计).当妈妈刚回到家时,小玲离学校的距离为_____米.
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【题目】已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).
(1)请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)证明:△ABC∽△BDC.
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线经过,两点,抛物线与轴的另一交点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点为第一象限内抛物线上一点,设四边形的面积为,求的最大值;
(3)若是线段上一动点,在轴上是否存在这样的点,使为等腰三角形且为直角三角形?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+3与x轴的一个交点为点A,与y轴的交点为点B,抛物线的对称轴l与x轴交于点,与线段AB交于点E,点D是对称轴l上一动点.
(1)点A的坐标是 ,点B的坐标是 ;
(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,抛物线的对称轴l向右平移与线段AB交于点F,与抛物线交于点G,当四边形DEFG是平行四边形且周长最大时,求出点G的横坐标.
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【题目】已知抛物线,与x轴交于两点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(Ⅰ)求点A,B和点C的坐标;
(Ⅱ)已知P是线段上的一个动点.
①若轴,交抛物线于点Q,当取最大值时,求点P的坐标;
②求的最小值.
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【题目】四边形ABCD是正方形,PA是过正方形顶点A的直线,作DE⊥PA于E,将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F.
(1)如图1,当∠PAD=45°时,点F恰好与点A重合,则的值为 ;
(2)如图2,若45°<∠PAD<90°,连接BF、BD,试求的值,并说明理由.
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