Question

【题目】如图，对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点为第一象限内抛物线上一点，设四边形的面积为，求的最大值；

（3）若是线段上一动点，在轴上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，；（3）存在，点的坐标为或．

【解析】

（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；
（3）分两种情况，当时，当时两种情况，结合相似三角形求解.

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，，两点关于直线对称且，

∴.

∴设抛物线的解析式为.

∵抛物线经过点，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为，

即.

（2）如图，过点作于点.设

则.

∴，.

∴

.

∴当时，.

（3）分以下两种情况：

①如图所示：当时，

∵，

∴只能.

∵，，

设BC解析式为：y=kx+m，将B，C代入，

可得：k=-2，m=8，

∴直线的解析式为.

设点，

则，，.

在中，

.

∵，

∴.

∴，即，

.

∴.

∵，

∴，.

∴.

②如图所示：当时，

∵，

∴只能.

过点作轴于点，

设点，

则，，.

由①得：，.

∵，，

∴.

∴，即

∴，

∵，，

∴.

∴.

∴.

∵轴于点，，

∴，.

∴.

又∵，

∴

∴，即，

∴

∴，

∴，

综上所述，点的坐标为或.