Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t=

 

 时，PQ∥BC．
（2）如图2，把△AQP沿AP翻折，当t=

 

时，得到的三角形与原三角形组成的四边形为菱形．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）证△APQ∽△ABC，推出

AP

AB

=

AQ

AC

，代入得出

10-2t

10

=

2t

8

，求出方程的解即可
（2）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值．

解答：解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-2t

10

=

2t

8

，
解得 t=

20

9

，
即当t为

20

9

s时，PQ∥BC．

（2）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²=100，
∴∠C=90°．
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴

AD

AQ

=

AP

AB

，即

10-2t

10

，
解得：PD=6-

6

5

t，AD=8-

8

5

t，
∴QD=AD-AQ=8-

8

5

t-2t=8-

18

5

t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-

18

5

t）²+（6-

6

5

t）²=（2t）²，
化简得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=

25

13

，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，
∴t=

25

13

．
故答案是：（1）

20

9

；（2）

25

13

．

点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．