Question

【题目】（1）（发现证明）

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．

小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．

（2）（类比引申）①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．

②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是　 （不要求证明）

（3）（联想拓展）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明见解析；②BE＝EF+DF；（3）AF＝．

【解析】

（1）【发现证明】

证明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；

（2）【类比引申】

①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，则结论得证；

②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，则结论得证；

（3）【联想拓展】

求出DG＝2，设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．

（1）【发现证明】

证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∴∠DAG+∠FAD＝45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∵AF＝AF，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG＝DF+DG，

∴EF＝DF+BE；

（2）【类比引申】

①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；

证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，

∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，

∴∠FAM＝45°＝∠EAF，

∵AF＝AF，

∴△EAF≌△MAF（SAS），

∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；

②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，

∴AN＝AF，∠NAF＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠NAE＝45°，

∴∠NAE＝∠FAE，

∵AE＝AE，

∴△AFE≌△ANE（SAS），

∴EF＝EN，

∴BE＝BN+NE＝DF+EF．

即BE＝EF+DF．

故答案为：BE＝EF+DF．

（3）【联想拓展】

解：由（1）可知AE＝AG＝3，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴DC＝BC＝AD＝6，

∴＝＝3．

∴BE＝DG＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，

设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，

在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，

∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，

解得：x＝2．

∴DF＝2，

∴AF＝＝＝2．