Question

直线y=x-2与抛物线y=ax²+bx+c相交于（2，m），（n，3）两点，抛物线的对称轴是直线x=3，
（1）求抛物线的关系式和顶点坐标；
（2）将此抛物线水平平移几个单位，可使抛物线顶点在直线y=x-2上？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）把（2，m），（n，3）分别代入y=x-2可求出m和n，即可得到点（2，0）、（5，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），则可设交点式y=a（x-2）（x-4），然后把（5，3）代入可计算出a=1，即可得到抛物线解析式为y=x²-6x+8，再配成顶点式y=（x-3）²-1，于是得到抛物线的顶点坐标为（3，-1）；
（2）由于顶点水平平移，纵坐标不变，通过计算得到点（1，-1）在直线y=x-2上，而顶点（3，-1）向左平移2个单位得到点（1，-1），于是将抛物线y=x²-6x+8向左平移2个单位，可使抛物线顶点在直线y=x-2上．

解答：解：（1）把（2，m），（n，3）分别代入y=x-2得m=2-2=0，n-2=3，解得n=5，即点（2，0）、（5，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
由于抛物线的对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），
把（5，3）代入得a•3•1=3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，
由于y=（x-3）²-1，
所以抛物线的顶点坐标为（3，-1）；
（2）当y=-1时，x-2=-1，解得x=1，即点（1，-1）在直线y=x-2上，
把顶点（3，-1）向左平移2个单位得到点（1，-1），这样抛物线的顶点在直线y=x-2上，
所以将抛物线y=x²-6x+8向左平移2个单位，可使抛物线顶点在直线y=x-2上．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．