Question

【题目】若抛物线y=x2+bx(b>2)上存在关于直线y=x成轴对称的两个点，则b的取值范围是______.

Answer 1

【答案】b>3

【解析】

可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线y=x成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=-x+a，由于P、Q两点存在，所以方程组

有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．

解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设
直线PQ的方程为y=x+a，由于P、Q两点存在，

所以方程组有两组不同的实数解，

即得方程x2+（1+b）x -a=0．①

判别式△=-4＞0．②

由①得x0==-，y0=-x0+a=+a

∵M（x0，y0）在y=x上，x0=y0

∴-+a ∴a=-b-1代入②解得b＞3或b-1

∵b>2，∴b＞3

故答案为：b＞3