在△ABC中.AB=AC=2.∠A=90°.取一块含45°角的直角三角形尺.将直角顶点放在斜边BC边的中点O处.顺时针方向旋转,使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB.AC分别相交于点E.F.设BE=x.CF=y．(1)求y与x的函数解析式.并写出x的取值范围,(2)将三角尺绕O点旋转的过程中.△OEF是否能成为等腰直角三角形?若能.请证明你的结论,(3)若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角形尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处，顺时针方向旋转（如图1）；使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2），设BE=x，CF=y．

（1）求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）将三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰直角三角形？若能，请证明你的结论；
（3）若将直角三角形尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处，顺时针方向旋转（如图3），其它条件不变．
①试直接写出y与x的函数解析式，及x的取值范围；
②将三角尺绕O点旋转（图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，求出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．

分析（1）首先连接AO，根据全等三角形判定的方法，判断出△AOE≌△COF，即可判断出AE=CF；然后根据AE=AB-BE，求出y与x的函数解析式，并写出x的取值范围即可．
（2）将三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF能构成等腰直角三角形．①当F与A重合时，x=0，此时OE=EF；②当E与A重合时，x=2，此时OE=OF．
（3）①首先根据相似三角形判定的方法，判断出△BEO∽△COF，即可判断出$\frac{BE}{CO}=\frac{BO}{CF}$；然后在Rt△ABC中，分别求出BC、BO、C0的值各是多少，即可判断出y与x的函数解析式，以及x的取值范围．
②将三角尺绕O点旋转（图4）的过程中，△OEF能构成等腰三角形．Ⅰ、当F与A重合时，x=1，此时OE=EF；Ⅱ、当E与A重合时，x=2，此时EF=OF；Ⅲ、当E、F分别在A点的两边时，x=$\sqrt{2}$，此时OE=OF．

解答解：（1）如图2，连接AO，，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
∵点O为BC的中点，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=CO，
∵∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO=45°}\\{AO=CO}\\{∠EOA=∠FOC}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴y=2-x（0≤x≤2）．

（2）将三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF能构成等腰直角三角形．
①当F与A重合时，x=0，此时OE=EF；
②当E与A重合时，x=2，此时OE=OF．
③∵∠EOF=90°，
∴OF=EF不可能成立．

（3）①如图3，连接AO，，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=180°-45°=135°，
∴∠BEO=∠FOC，
在△BEO和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C=45°}\\{∠BEO=∠FOC}\end{array}\right.$
∴△BEO∽△COF，
∴$\frac{BE}{CO}=\frac{BO}{CF}$，
在Rt△ABC中，
BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵点O为BC的中点，
∴BO=C0=$\sqrt{2}$，
∵BE=x，CF=y，
∴$\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{y}$，
即xy=2，
∴y=$\frac{2}{x}（1≤x≤2）$．

②将三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF能构成等腰三角形．
Ⅰ、当F与A重合时，x=1，此时OE=EF；
Ⅱ、当E与A重合时，x=2，此时EF=OF；
Ⅲ、当E、F分别在A点的两边时，x=$\sqrt{2}$，此时OE=OF．

点评（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了等腰三角形以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

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