Question

如图，在△ABC中，∠B=30°，以边AB的中点O为圆心，BO长为半径作⊙O，恰好过顶点C．在半圆AB上取点D，连接CD．
（1）∠ACB的度数为______°，理由是______．
（2）在半圆AB上取中点D，连接CD．若AC=6，补全图形并求CD的长．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，⊙O过点C，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．

（2）分两种情况讨论：
①C、D两点在直径AB异侧，连接BD，过B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=

3

AC=6

3

．
∵在半圆AB上取中点D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

BC=3

6

．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠D=∠A=60°，
∴DE=

3

3

BE=3

2

，
∴CD=CE+DE=3

6

+3

2

；

②C、D两点在直径AB同侧，
连接BD，过B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=

3

AC=6

3

．
∵在半圆AB上取中点D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

BC=3

6

．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=∠A=60°，
∴DE=

3

3

BE=3

2

，
∴CD=CE-DE=3

6

-3

2

．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．