Question

【题目】已知：矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为边在的右侧作等边．

（1）①如图1，当点运动到与点重合时，记等边为等边，则点到的距离是________；

②如图2，当点运动到点落在上时，记等边为等边.则等边的边长是________；

（2）如图3，当点运动到与点重合时，记等边为等边，过点作交于点，求的长；

（3）①在上述变化过程中的点，，是否在同一直线上？请建立平面直角坐标系加以判断，并说明理由．

②点的位置随着动点在线段上的位置变化而变化，猜想关于所有点的位置的一个数学结论，试用一句话表述：______．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）①点在直线上，即，，在同一条直线上；理由见解析；②点都在同一条线段（或直线）上．

【解析】

（1）①过点E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，则MN＝AB＝，由等边三角形的性质得出AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，E1M＝，即可得出答案；

②作P2M⊥AD于M，则P2M∥AB，设等边△AP2E2的边长AE2为2x，由等边三角形的性质得出AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，由△P2MD∽△BAD，得出，进而得出答案；

（2）过作于点，延长交于点，由等边三角形的性质得出，，求出HM＝AD＝4，由平行线分线段成比例得出，即可得出答案；

（3）以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由（1）（2）得：，，，由待定系数法求出过E1、E3的直线解析式，代入E2进行验证即可得出结论；

②由①即可得出结论．

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝8，过点E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，如图1所示：

则MN＝AB＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝8，

∵△AP1E1是等边三角形，

∴AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，

∴E1M＝，

∴E1N＝，即点到的距离是；

②作P2M⊥AD于M，如图2所示，则P2M∥AB，

设等边△AP2E2的边长AE2＝2x，

∴AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，

∵P2M∥AB，

∴△P2MD∽△BAD，

∴，即，

解得：x＝，

∴AE2＝2x＝；

故答案为：；

（2）过作于点，延长交于点，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，即，

∴；

（3）①以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

由（1）①②（2）所求，得，，，

设经过，的直线解析式为，

依题意，得，解得，

∴，

把代入一次函数解析式，得，

∴点在直线上，即，，在同一条直线上；

②用一句话表述：点都在同一条线段（或直线）上．