【题目】如图,已知,以为直径作半圆,半径绕点顺时针旋转得到,点的对应点为,当点与点重合时停止.连接并延长到点,使得,过点作于点,连接,.
(1)______;
(2)如图,当点与点重合时,判断的形状,并说明理由;
(3)如图,当时,求的长;
(4)如图,若点是线段上一点,连接,当与半圆相切时,直接写出直线与的位置关系.
【答案】(1);(2)是等边三角形,理由见解析;(3)的长为或;(4)
【解析】
(1)先证AC垂直平分DB,即可证得AD=AB;
(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD是等边三角形;
(3)分当点在上时和当点在上时,由勾股定理列方程求解即可;
(4)连结OC,证明OC∥AD, 由与半圆相切,可得∠OCP=90°,即可得到与的位置关系.
解:(1)∵为直径,
∴∠ACB=90°,
又∵
∴AD=AB
∴,
故答案为10;
(2)是等边三角形,
理由如下:∵点与点重合,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∴是等边三角形;
(3)∵,∴,
当点在上时,
则,,∵,,
∴在和中,
由勾股定理得,即,
解得,∴;
当点在上时,同理可得,
解得,∴,
综上所述,的长为或;
(4).
如图,连结OC,
∵与半圆相切,
∴OC⊥PC,
∵△ADB为等腰三角形,,
∴∠DAC=∠BAC,
∵AO=OC
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴OC∥AD,
∴.
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【题目】已知:矩形中,,,点是对角线上的一个动点,连接,以为边在的右侧作等边.
(1)①如图1,当点运动到与点重合时,记等边为等边,则点到的距离是________;
②如图2,当点运动到点落在上时,记等边为等边.则等边的边长是________;
(2)如图3,当点运动到与点重合时,记等边为等边,过点作交于点,求的长;
(3)①在上述变化过程中的点,,是否在同一直线上?请建立平面直角坐标系加以判断,并说明理由.
②点的位置随着动点在线段上的位置变化而变化,猜想关于所有点的位置的一个数学结论,试用一句话表述:______.
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【题目】如图,⊙O的半径为5,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=8.AD和过点B的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:∠BAD+∠C=90°;
(2)求线段AD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为、、.
(1)点关于坐标原点对称的点的坐标为______;
(2)将绕着点顺时针旋转,画出旋转后得到的;
(3)在(2)中,求边所扫过区域的面积是多少?(结果保留).
(4)若、、三点的横坐标都加3,纵坐标不变,图形的位置发生怎样的变化?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+3x+2与y轴交于点A,点B是抛物线的顶点,点C与点A是抛物线上关于对称轴对称的两个点,点D在x轴上运动,则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为_____.
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【题目】随着人们生活水平的提高,短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目,团队人均报名费用y(元)与团队报名人数x(人)之间的函数关系如图所示,旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w(元).
(1)直接写出当x≥20时,y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元,报名旅游的人数是多少?
(3)当一个团队有多少人报名时,旅行社收到的总报名费最多?最多总报名费是多少元?
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【题目】如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GFAF;
(3)若AB=4,BC=5,求GF的长.
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【题目】用一张斜边长为的等腰直角三角形纸片进行折“狗脸”活动(如图1所示) .第一步,如图2,沿向后折一个面积为1的等腰直角三角形;第二步,在直角边.上各取一点为的中点,将分别沿折叠,使得点对应点落在直线上,交于点交于点,则“狗脸”(图形)的面积为__________.
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