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【题目】如图,已知,以为直径作半圆,半径绕点顺时针旋转得到,点的对应点为,当点与点重合时停止.连接并延长到点,使得,过点于点,连接

1______

2)如图,当点与点重合时,判断的形状,并说明理由;

3)如图,当时,求的长;

4)如图,若点是线段上一点,连接,当与半圆相切时,直接写出直线的位置关系.

【答案】1;(2是等边三角形,理由见解析;(3的长为;(4

【解析】

(1)先证AC垂直平分DB,即可证得AD=AB;

(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD是等边三角形;

(3)分当点上时和当点上时,由勾股定理列方程求解即可;

(4)连结OC,证明OCAD, 与半圆相切,可得∠OCP=90°,即可得到的位置关系.

解:(1)∵为直径,

∴∠ACB=90°,

又∵

AD=AB

故答案为10

2是等边三角形,

理由如下:∵点与点重合,∴

,∴

,∴

是等边三角形;

3)∵,∴

当点上时,

,∵

∴在中,

由勾股定理得,即

解得,∴

当点上时,同理可得

解得,∴

综上所述,的长为

4.

如图,连结OC

与半圆相切,

OCPC,

∵△ADB为等腰三角形,,

∴∠DAC=BAC,

AO=OC

∴∠CAO=ACO,

∴∠DAC=ACO,

OCAD,

.

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