Question

【题目】正方形ABCD和正方形CEFG如图1所示,其中B、C、E在一条直线上,O是AF的中点,连接OD、OG

(1)探究OD与OG的位置关系的值;(写出结论不用证明)

(2)如图2所示,将正方形ABCD和正方形CEFG改为菱形ABCD和菱形CEFG,且∠ABC=∠DCE=120°,探究OD与OG的位置关系,及的比值;

(3)拓展探索:把图1中的正方形CEFG绕C顺时针旋转小于90°的角后,其他条件均不变,问第1问中的两个结论是否发生变化?(写出结论不用证明)

Answer 1

【答案】（1）OD⊥OG. =1；(2)OD⊥OG, ，理由见解析；(3)第(1)问中的两个结论没有发生变化.

【解析】试题分析：

（1）延长GO交AD于点H，由已知条件易证△AHO≌△FGO，从而可得GO=HO，GF=AH=GC，结合AD=CD可得DH=DG，结合∠GDH=90°即可得到OD⊥OG，OD=OG，从而可得 ；

（2）延长GO交AD于H，同（1）易证△AHO≌△FGO，从而同理可得OD⊥OG，由已知条件可证得∠ODG=60°，则∠DGO=30°，结合∠DOG=90°，即可得到tan∠DGO=；

（3）第(1)问中的两个结论没有发生变化，如图3，过点F作FH∥AD交DO的延长线于点H，延长DC交FH于点M，连接GH，DG，这样由已知易证△ADO≌△FHO，从而可得FH=AD=CD，DO=HO；再由∠GCE=∠CMN=∠E=∠EFG=90°，可得∠DCG+∠MCN=∠MCN+∠CNM=∠FNE+∠NEF=∠NEF+∠GFH=90°，结合∠CNM=∠FNE可得∠DCG=∠CNM=∠GFH即可证得△DCG≌△HFG，进一步即可证得△DGH是等腰直角三角形，即可由此得到DO=GO，且DO⊥GO，从而说明（1）中结论仍然成立了.

试题解析：

(1)OD⊥OG， =1,理由如下：

如图1，延长GO交AD于点H，由已知可得OA=OF，AD∥GF，

∴∠OAH=∠OFG，∠AHO=∠FGO，

∴△AHO≌△FGO，

∴OH=OG，AH=GF=GC，

又∵AD=CD，

∴DH=DG，

∴DO⊥OG，

∵∠ADC=90°，∴DO=OG，

∴；

(2)OD⊥OG ， ，理由如下：

如图2所示,延长GO交AD于H.

∵菱形ABCD和菱形CEFG,且B、C、E在一条直线上,

∴AD∥GF，

∵O是AF的中点，

∴△AOH≌△FOG，

∴AH=CF,HO=OG，

∵CF=CG,AD=CD,

∴DH=DG，

∴DO⊥HG且∠ODG=60°，

∴ ；

(3)第(1)问中的两个结论没有发生变化，理由如下：

如图3，过点F作FH∥AD交DO的延长线于点H，延长DC交FH于点M，连接GH，DG，

∴∠ADO=∠FHO，∠DAO=∠HFO，

又∵AO=FO，

∴△ADO≌△FHO，

∴FH=AD=CD，DO=HO，

∵∠GCE=∠CMN=∠E=∠EFG=90°，

∴∠DCG+∠MCN=∠MCN+∠CNM=∠FNE+∠NEF=∠NEF+∠GFH=90°，

又∵∠CNM=∠FNE，

∴∠DCG=∠CNM=∠GFH，

又∵DC=FH，CG=FG，

∴△DCG≌△HFG，

∴DG=HG/span>，∠DGC=∠HGF，

∵∠CGH+∠HFG=∠CGF=90°，

∴∠CGH+∠DGC=∠=90°，

∴△DGH是等腰直角三角形，

又∵DO=HO，

∴DO=GO，且DO⊥GO,

∴，

∴（1）中结论仍然成立.