Question

【题目】已知矩形OABC在如图所示平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），连接AC．动点P从点B出发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止（不包括端点B、C），过点P作PQ∥AC交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），设点P的运动时间为t（s）．

（1）请用含t的代数式表示BQ长和N点的坐标；

（2）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；

（3）如图2，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．试求当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）作NH⊥BC于点H，根据△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的对应边的比相等求得BQ，然后证明△BPQ≌△HNP，则BH以及HN的长即可利用t表示，则N的坐标即可求解；

（2）首先求出MN在AC上时t的值，然后分两种情况进行讨论，利用矩形的面积公式即可求解；

（3）求得AC的解析式，然后根据PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F的坐标是（2t，1），把F的坐标分别代入PQ和MN的解析式即可求解

试题解析：解：（1）作NH⊥BC于点H．

∵PQ∥CA，∴△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：BQ=t．∵在△BPQ和△HNP，∴，∴△BPQ≌△HNP，∴HP=BQ=t，NH=BP=2t，则BH=2t+t=t，则N点坐标（4﹣t，3﹣2t）；

（2）当MN在AC上时，如图②．

∵△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：PQ=t，当MN在AC上时，PN=PQ=t，△ABC∽△PNC，即，即，解得：t=．

则S=t2．其中，0＜t≤．

当t＞时，设PN交AC于点E，如图③．

则△ABC∽△PEC，则，即，解得：PE=，则S=﹣3t2+6t．其中，＜t＜2．

综上所述：S= ；

（3）设AC的解析式是y=kx+b，则，解得：，则设直线MN的解析式是y=﹣x+3，则﹣（4﹣t）+c=3﹣2t，解得：c=6﹣t，则直线的解析式是y=﹣x+（6﹣t）．

同理，直线PQ的解析式是y=﹣x+（﹣t），F的坐标是（2t，1）．

当点F落在MN上时，t=．

当点F落在PQ上时，∴t=＜t＜．