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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点AC分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4OC=3,若抛物线经过OA两点,且顶点在BC边上,对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上,动点Q在抛物线上

(1)求抛物线的解析式;

(2)当PO+PC的值最小时,求点P的坐标;

(3)是否存在以ACPQ为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出PQ的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2+3x;(2)当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2, );(3)存在,具体见解析.

【解析】试题分析:(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2) 连接PA,D与P重合时有最不值,求出点D的坐标即可;

(3)存在,分别以PAPC、PCPQ、PAPQ为一组邻边时,写出坐标即可;

试题解析:

(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,

A(4,0),C(0,3),

∵抛物线经过OA两点,且顶点在BC边上,

∴抛物线顶点坐标为(2,3),

∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,

A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=

∴抛物线解析式为y= (x﹣2)2+3,即y=x2+3x;

(2)连接PA

∵点P在抛物线对称轴上,∴PA=PO,∴PO+PC= PA+PC

当点P与点D重合时,PA+PC= AC

当点P不与点D重合时,PA+PC> AC

∴当点P与点D重合时,PO+PC的值最小,

设直线AC的解析式为y=kx+b

根据题意,得解得

∴直线AC的解析式为

x=2时,

∴当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2, );

(3)存在.当以PAPC为一组邻边时,P(2,0),Q(2,3);

当以PCPQ为一组邻边时,P(2,-6),Q(6,-9);

当以PAPQ为一组邻边时,P(2,-12),Q(-2,-9).

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(1)求直线y=kx+b 的表达式及点D 的坐标;

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