Question

【题目】已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3.

（1）求证：BM=AC；

（2）求△ABC的面积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)14

【解析】试题分析：（1）由同角的余角相等，得到∠BME=∠C，再由△ABE是等腰直角三角形，得到AE=BE，即可证明△BEM≌△AEC，从而得到结论；

（2）由△BEM≌△AEC，得到BE、EM的长，进而得到BC的长，根据三角形面积公式即可求出结论．

试题解析：解：（1）∵AE、BD为△ABC的高， ∴∠BEM=∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EBM+∠C=∠EBM+∠BME=90°， ∴∠BME=∠C．又∵∠ABC=45°，∴∠ABC=∠BAE=45°，∴AE=BE．在△BEM和△AEC中，∵∠BEM=∠AEC，∠BME=∠C，BE=AE，∴△BEM≌△AEC(AAS) ，∴BM=AC；

（2）∵△BEM≌△AEC，∴BE=AE=4，EM=EC=3，∴BC=BE+EC=7，∴△ABC的面积=×BC×AE=×7×4=14．