Question

如图：在△ABC中，D是BC上一点，E是BD的中点，并且AB=DC，AE=

1

2

AC．求证：D是BC的中点．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作DF∥AB交AE的延长线于F，交AC于G，连接CF，BF，易证BE=DE和∠BAE=∠DFE，即可证明△ABE≌△DEF，可得AE=EF，即可求得∠DCA=∠BAF，易证∠CDG=∠CBA，即可证明△CDG≌△ABE，可得CG=AE，即可求得G为AC中点，根据DG∥AB，即可解题．

解答：证明：作DF∥AB交AE的延长线于F，交AC于G，连接CF，BF，

∵E为BD中点，
∴BE=DE，
∵DF∥AB，
∴∠BAE=∠DFE，
在△ABE和△DEF中，

∠BAE=∠DFE ∠AEB=∠FED BE=DE

，
∴△ABE≌△DEF（AAS），
∴AE=EF，
∴AF=2AE=AC，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AB=DF，DC=DF=AB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠DCA=∠DFA=∠BAF，
∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠CBA，
在△CDG和△ABE中，

∠CDG=∠CBA AB=CD ∠DCA=∠BAF

，
∴△CDG≌△ABE，（ASA）
∴CG=AE，
∴G为AC中点，
∵DG∥AB，
∴D为BC中点．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△DEF和△CDG≌△ABE是解题的关键．