Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，AO是角平分线，D为AO上一点，作△CDE，使DE=DC，∠EDC=∠BAC，连接BE．

（1）若∠BAC=60°，求证：△ACD≌△BCE；

（2）若∠BAC=90°，AD=DO，求的值；

（3）若∠BAC=90°，F为BE中点，G为 BE延长线上一点，CF=CG，AD=nDO，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； (2)（3）

【解析】试题分析：（1）只要证明∠ACD=∠BCE，即可根据SAS证得△ACD≌△BCE；

（2）首先证明△ACD∽△BCE，得，再根据AD=BC即可解决问题．

（3）如图3中，作CH⊥BG于H．设OD=k，则AD=nk，BE=nk，AO=（n+1）k，首先证明△ABC≌△HBC，得BH=CH=AB=AC=（n+1）k，BF=nk，求出BG即可解决问题．

试题解析：（1）证明：如图1中，

∵△ABC和△CDE为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）如图2中，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，

∴AO⊥BC，OB=OC，

∵∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，

∴∠ACB=∠DCE=45°，BC=AC，EC=CD，

∴，∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∵OA=OB=OC，AD=OD，

∴AD=BC，

∴，

∴．

（3）如图3中，作CH⊥BG于H．

由（2）可知△ACD∽△BCE，

∴BE：AD=，∠CAD=∠CBE=45°，设OD=k，则AD=nk，BE=nk，AO=（n+1）k，

∵∠ABC=∠HBC=45°，∠BAC=∠BHC，BC=BC，

∴△ABC≌△HBC，

∴BH=CH=AB=AC=（n+1）k，BF=nk，

FH=HG=（n+1）k-nk，

∴．