Question

求证：不论m取什么实数，二次函数y=x²-2（m+1）x+m（m+2）的图象与x轴两个交点之间的距离为定值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），根据抛物线与x轴的交点问题，得到方程x²-2（m+1）x+m（m+2）=0的两根分别为a与b，根据根与系数的关系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函数图象与x轴两个交点之间的距离可表示为|a-b|，然后根据代数式的变形得到|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

，再利用整体代入的方法得到|a-b|=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，由此可判断函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．

解答：证明：设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），
则a+b=2（m+1），ab=m（m+2），
所以|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，
即无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．