Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对下列判断中正确的是

 

．（填序号）
①b＞0       
②abc＞0
③b²-4ac＜0
④b+2a=0      
⑤a+b+c＜0
⑥a-b+c＞0    
⑦9a+3b+c＜0．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴为x=-

b

2a

=1得b=-2a＜0，则可对①进行判断；b+2a=0，则可对④进行判断；由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对②进行判断；根据抛物线与x轴有2个交点可对③进行判断；根据x=1时，函数值为负数，则可对⑤进行判断；根据x=-1时，函数值为正数，则可对⑥进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，则x=3时，函数值为正数，则可对⑦进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，所以①错误；b+2a=0，所以④正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点
∴b²-4ac＞0，所以③错误；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以⑤正确；
x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，所以⑥正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（-1，0）之间，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，所以⑦错误．
故答案为②④⑤⑥．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．