Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，B、C均在y轴上，且B点坐标为（0，4

3

），AD=2BD，若反比例函数y=

k

x

的图象刚好过A、D两点，则k的值为（　　）

• A、-3
• B、-3

  3

• C、-2

  3

• D、-4

  3

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，设点A的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），在Rt△AED中运用三角函数的定义可以得到a、b、c、d一个等量关系，易证△BFD∽△BCA，运用相似三角形的性质可得a=3c，由点A、D在反比例函数y=

k

x

的图象上可得k=ab=cd，从而得到d=3b，进而可得b=-

3

3

a，在Rt△ACB中，运用三角函数的定义可得BC=-

3

a，由B点坐标为（0，4

3

）可得OB=4

3

，由此可求出a的值，从而求出b的值，进而求出k的值，问题得以解决．

解答：解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图．
设点A的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），
则有AC=-a，OC=b，DF=-c，OF=d，
∴AE=AC-CE=AC-DF=-a-（-c）=-a+c，DE=FC=OF-OC=d-b．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．
∴在Rt△AED中，DE=AE•tan∠DAE=

3

AE，
则d-b=

3

（-a+c）．
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠BFD=∠ACB=90°，
∵∠DBF=∠ABC，
∴△BFD∽△BCA，
∴

DF

AC

=

BD

AB

．
∵AD=2BD，∴

DF

AC

=

BD

AB

=

1

3

，
∴AC=3DF，
∴-a=-3c，即c=

1

3

a．
∵点A、D在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=ab=cd，∴d=3b．
∵d-b=

3

（-a+c），
∴2b=

3

（-a+

1

3

a）=-

2 3

3

a，
∴b=-

3

3

a．
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，∴BC=AC•tan∠BAC=-

3

a．
∵B点坐标为（0，4

3

），∴OB=4

3

，
∴OB=BC+OC=-

3

a+b=-

3

a+（-

3

3

a）=-

4 3

3

a=4

3

，
∴a=-3．
∴b=-

3

3

a=

3

，
∴k=ab=-3×

3

=-3

3

．
故选：B．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，设点A的坐标为（a，b），根据条件得到b与a的等量关系是解决本题的关键．