Question

如图，D、E分别在正△ABC的边BC和AC上，且AE=CD，连BE交AD于P，过点B作BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：BP=2PQ；
（2）若CP⊥BP，求证：AP=PQ．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可证得△BAE≌△ACD，可得出∠ABE=∠CAD，再结合外角的性质，可得出∠PBQ=30°，再利用含30°锐角的直角三角形的性质得出结论．
（2）通过作辅助线连AK（在BP上取BK=AP．连AK）来证明△ABK≌△CAP，然后求出∠AKP=∠KAP=30°，从而求得AP=PK．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
在△BAE和△ACD中，

AE=CD ∠BAE=∠C AB=AC

，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQD=90°，
∴△BQP是直角三角形，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

（2）证明：在BP上取BK=AP．连AK，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD=∠ABE，
在△ABK和△CAP中

AB=AC ∩ABK=∠CAP BK=AP

，
∴△ABK≌△CAP，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=90°-60°=30°，
又∠APB=120°，
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴

AP

BP

=

1

2

，
∵BP=2PQ，
∴AP=PQ．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．