Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，连接CD，BE⊥CD于点E．AB=10，S_△ABC=24．
（1）求AC的长度；
（2）求BE的长度；
（3）连接AE，求△ADE的面积S_△ADE．

Answer 1

考点：勾股定理,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）在直角三角形ABC中，设AC=x，利用勾股定理表示出BC，再利用面积法求出x的值，即可确定出AC的长；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长，且三角形BCD与三角形ACD面积相等，利用三角形面积公式即可求出BE的长；
（3）连接AE，三角形AED与三角形ACE面积之比即为DE与CE之比，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出DE的长，进而求出CE的长，求出面积之比，即可确定出三角形ADE面积．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，
设AC=x，根据勾股定理得：BC=

100-x2

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=24，
∴

1

2

x

100-x2

=24，
解得：x=6或x=8，
则AC=6或8；
（2）∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=

1

2

AB=5，△BCD与△ACD面积相等，都为12，
∴

1

2

CD•BE=12，即5BE=24，
解得：BE=4.8；
（3）∵BD=AD=CD=5，BE=4.8，
∴在Rt△BDE中，根据勾股定理得：DE=

52-4．82

=1.6，
∴CE=5-1.6=3.4，即DE：CE=8：17，
∴S_△ADE：S_△ACE=8：17，
∵S_△ADE+S_△ACE=12，
∴S_△ADE=

8

25

×12=

96

25

．

点评：此题考查了勾股定理，三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．