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【题目】(2016山东省泰安市第25题)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D,与BC的交点为N.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)若点P在直线DM上,且使OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.

【答案】(1)、y=-x-1;(2)、10,9)或(8,9)

【解析】

试题分析:(1)、由正方形OABC的顶点C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据AD=2DB,求出AD的长,确定出D坐标,代入反比例解析式求出m的值,再由AM=2MO,确定出MO的长,即M坐标,将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;(2)、把y=3代入反比例解析式求出x的值,确定出N坐标,得到NC的长,设P(x,y),根据OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求出y的值,进而得到x的值,确定出P坐标即可.

试题解析:(1)、正方形OABC的顶点C(0,3),OA=AB=BC=OC=3,OAB=B=BCO=90°

AD=2DB, AD=AB=2, D(3,2), 把D坐标代入y=得:m=6,

反比例解析式为y= AM=2MO,MO=OA=1,即M(1,0),

把M与D坐标代入y=kx+b中得:,解得:k=b=1,则直线DM解析式为y=x1;

(2)、把y=3代入y=得:x=2,N(2,3),即NC=2,

设P(x,y), ∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,

(OM+NC)OC=OM|y|,即|y|=9, 解得:y=±9,

当y=9时,x=10,当y=9时,x=8,则P坐标为(10,9)或(8,9).

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