Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF∥BC交于BE的延长线于点F.

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）10.

【解析】

（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；

（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．

（1）证明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，

∴AD=DC=1212BC，

∴四边形ADCF是菱形；

连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF==×4×5=10．