Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程tx2﹣（3t+2）x+2t+2=0（t＞0）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1 ， x2（其中x1＜x2），若y是关于t的函数，且y=x2﹣2x1 ， 求这个函数的解析式，并画出函数图象；
（3）观察（2）中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：△=9（3t+2）2﹣4t（2t+2）=（t+2）2，

∵t＞0，

∴（t+2）2＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）

证明：解：x= ，

∵t＞0，

∴x1=1，x2=2+ ，

∴y=x2﹣2x1=2+ ﹣2×1= ，

即y= （t＞0）；

如图，

（3）

证明：当y≥2t时，0＜t≤1．

【解析】（1）计算判别式的值得到△=（t+2）2 ， 从而得到△＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=2+ ，y=x2﹣2x1= ，然后利用描点法画函数图象；（3）计算y= 与y=2t的交点，然后利用图象法写出满足y≥2t所对应的自变量的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根．