Question

15．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD
（2）求证：AD²+BD²=DE²．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通过等量减等量即可推出∠ACE=∠BCD，根据全等三角形的判定定理“SAS”，即可退出结论；
（2）根据（1）中所推出的结论可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根据等腰直角三角形的性质推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD为直角三角形，再根据勾股定理即可推出AE²+AD²=DE²，即AD²+BD²=DE²，问题得解．

解答 证明（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BD²=DE²

点评 本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，关键在于认真的阅读题目，正确的运用相关的性质定理求证三角形全等．