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【题目】提出问题:

1)如图,我们将图(1)所示的凹四边形称为镖形.在镖形图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为_______.

2)如图(2),已知AP平分∠BADCP平分∠BCD,∠B =28°,∠D=48°.求∠P的度数.

由(1)结论得:∠AOC =PAO +PCO+P

所以2AOC=2PAO +2PCO+2P2AOC =BAO +DCO+2P

因为∠AOC =BAO +B,∠AOC =DCO +D

所以2AOC=BAO +DCO+B +D

所以∠P=_______.

解决问题:

3)如图(3),直线AP平分∠BADCP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是_______

4)如图(4),直线AP平分∠BAD的外角∠FADCP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是_______.

【答案】1)∠AOC=A+P+C;(238°;(3)∠P=90°+(∠B+D);(4)∠P=180°-(∠B+D.

【解析】

1)延长CO,交APB,根据三角形外角性质即可得答案;(2)根据2AOC=BAO +DCO+2P2AOC=BAO +DCO+B+D,可得2P=B+D,进而可得答案;(3)由角平分线的定义可得∠PAB=PAD,∠PCB=PCE,根可三角形内角和定理可得2PAB+B=180°-2PCB+D,由(1)可知∠P=PAB+B+PCB,利用等量代换即可得答案;(4)由角平分线的定义可得∠FAP=PAD,∠PCE=PCB,根据四边形的内角和等于360°可得(180°-FAP+P+PCB+B=360°,∠PAD+P+180°-PCE+D=360°,然后整理即可得解;

1)如图,延长CO,交APB

∵∠AOC=A+ABO,∠ABO=C+P

∴∠AOC=A+P+C

故答案为:∠AOC=A+P+C

2)∵2AOC =BAO +DCO+2P2AOC=BAO +DCO+B+D

2P=B+D

∠P=28°+48°)=38°,

故答案为:38°

3)∵直线AP平分∠BADCP平分∠BCD的外角∠BCE

∴∠PAB=PAD,∠PCB=PCE

2PAB+B=180°-2PCB+D

180°-2(∠PAB+PCB+D=B

∵∠P=PAB+B+PCB

∴∠PAB+PCB=P-B

180°-2(∠P-B+D=B,即∠P=90°+(∠B+D.

4)∵直线AP平分∠BAD的外角∠FADCP平分∠BCD的外角∠BCE

∴∠FAP=PAO,∠PCE=PCB

在四边形APCB中,(180°-FAP+P+PCB+B=360°①,

在四边形APCD中,∠PAD+P+180°-PCE+D=360°②,

+②得:2P+B+D=360°

∴∠P=180°-(∠B+D.

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