【题目】提出问题:
(1)如图,我们将图(1)所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为_______.
(2)如图(2),已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B =28°,∠D=48°.求∠P的度数.
由(1)结论得:∠AOC =∠PAO +∠PCO+∠P
所以2∠AOC=2∠PAO +2∠PCO+2∠P即2∠AOC =∠BAO +∠DCO+2∠P
因为∠AOC =∠BAO +∠B,∠AOC =∠DCO +∠D
所以2∠AOC=∠BAO +∠DCO+∠B +∠D
所以∠P=_______.
解决问题:
(3)如图(3),直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是_______;
(4)如图(4),直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是_______.
【答案】(1)∠AOC=∠A+∠P+∠C;(2)38°;(3)∠P=90°+(∠B+∠D);(4)∠P=180°-(∠B+∠D).
【解析】
(1)延长CO,交AP与B,根据三角形外角性质即可得答案;(2)根据2∠AOC=∠BAO +∠DCO+2∠P,2∠AOC=∠BAO +∠DCO+∠B+∠D,可得2∠P=∠B+∠D,进而可得答案;(3)由角平分线的定义可得∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE,根可三角形内角和定理可得2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D,由(1)可知∠P=∠PAB+∠B+∠PCB,利用等量代换即可得答案;(4)由角平分线的定义可得∠FAP=∠PAD,∠PCE=∠PCB,根据四边形的内角和等于360°可得(180°-∠FAP)+∠P+∠PCB+∠B=360°,∠PAD+∠P+(180°-∠PCE)+∠D=360°,然后整理即可得解;
(1)如图,延长CO,交AP与B,
∵∠AOC=∠A+∠ABO,∠ABO=∠C+∠P,
∴∠AOC=∠A+∠P+∠C,
故答案为:∠AOC=∠A+∠P+∠C,
(2)∵2∠AOC =∠BAO +∠DCO+2∠P,2∠AOC=∠BAO +∠DCO+∠B+∠D,
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=(28°+48°)=38°,
故答案为:38°
(3)∵直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE,
∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D,
∴180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B
∵∠P=∠PAB+∠B+∠PCB,
∴∠PAB+∠PCB=∠P-∠B,
∴180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B,即∠P=90°+(∠B+∠D).
(4)∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠FAP=∠PAO,∠PCE=∠PCB,
在四边形APCB中,(180°-∠FAP)+∠P+∠PCB+∠B=360°①,
在四边形APCD中,∠PAD+∠P+(180°-∠PCE)+∠D=360°②,
①+②得:2∠P+∠B+∠D=360°,
∴∠P=180°-(∠B+∠D).
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【题目】已知A,B,C,D是⊙O上的四个点.
(1)如图①,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;
(2)如图②,若AC⊥BD,垂足为F,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在矩形ABCD中有对角线AC与BD相等,已知AB=4,BC=3,则有AB2+BC2=AC2,矩形在直线MN上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推,则:
(1)AC=__________.
(2)这样连续旋转2019次后,顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.
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【题目】如图:已知OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=40°,若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转,射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转, 两条射线同时旋转,当一条射线与射线OX重合时,停止运动.
(1)开始旋转前,∠AOB=______________
(2)当OA与OC的夹角是10°时,求旋转的时间.
(3)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转,三条射线同时旋转,当一条射线与射线OX重合时,停止运动.当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时,求旋转的时间.
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【题目】学校标准化建设需购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需3.5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
(1)求每台电脑和每台电子白板各多少万元;
(2)根据学校需要,实际购进电脑和电子白板共30台,总费用30万元,请你通过计算求学校购买了电脑和电子白板各多少台.
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【题目】“保护好环境,拒绝冒黑烟”荆州市公交公司将淘汰一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买型和型两种环保节能公交车辆,若购买型公交车辆,型公交车辆,共需万元,若购买型公交车辆,型公交车辆,共需万元.
(1)求购买购买型和型公交车每辆多少钱?
(2)预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次,若该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元,且确保这辆公交车在该线路上的年平均载客总和不少于万人次,则该公司有哪几种购车方案?
(3)在(2)的条件下,哪种购车方案总费用最少?最少费用为多少?
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【题目】已知△ABC中,点O是边AC上的一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)试确定点O在边AC上的位置,使四边形AECF是矩形,并加以证明.
(3)在(2)的条件下,且△ABC满足 ____________时,矩形AECF是正方形.
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【题目】一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论:①k<0;②a>0;③关于x的方程kx﹣x=a﹣b的解是x=3;④当x<3时,y1<y2中.则正确的序号有________.
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【题目】如示意图,小华家(点A处)和公路(l)之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路计为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离.(精确到1m)
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