【题目】如图1,是一个长为,宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形。
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 .
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1 ;方法2 ;
(3)仔细观察图2,写出三个代数式之间的等量关系.
(4)若,求的值.
【答案】(1)a-b ;(2)法一 a2-2ab+b2 法二 (a+b)2 -4ab;(3)(a-b)2= (a+b)2-4ab;(4)-7,+7.
【解析】
(1)直接写出边长:长边一短边=a-b;
(2)直接根据边长的平方计算面积或根据面积差计算面积;
(3)根据图形利用面积可得结论;
(4)结合(3)的结论和完全平方公式,先计算xy的值,再计算(x-y)2的值,最后开方可得结论.
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于a-b;
(2)方法一:S阴影=S正方形-4S长方形=(a+b)2-4ab=(a-b)2;
方法二:∵分成的四块小长方形形状和大小都一样,
∴每一个小长方形的长为a,宽为b,
∴阴影部分的正方形的边长为(a-b),
∴S阴影=(a-b)2,
(3)由图2得:(a+b)2-4ab=(a-b)2;
(4)∵(x+y)2=x2+2xy+y2,
∵x+y=1,x2+y2=25,
∴1=25+2xy,
xy=-12,
∵(x+y)2-4xy=(x-y)2,
∴(x-y)2=1-4×(-12)=49,
∴x-y=±7.
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【题目】我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
例如:由图1可得到(a+b)=a+2ab+b.
图1 图2 图3
(1)写出由图2所表示的数学等式:_____________________;写出由图3所表示的数学等式:_____________________;
(2)利用上述结论,解决下面问题:已知a+b+c=11,bc+ac+ab=38,求a+b+c的值.
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【题目】 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,连结AE、BD且AE=AB
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
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【题目】射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 平均成绩 | 中位数 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 | 9 | ① |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | ② | 9.5 |
(注:方差公式 .)
(1)完成表中填空①;②;
(2)请计算甲六次测试成绩的方差;
(3)若乙六次测试成绩的方差为 ,你认为推荐谁参加比赛更合适,请说明理由.
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【题目】如图,直角三角形的斜边在轴的正半轴上,点与原点重合,点的坐标是,且,若将绕着点旋转后30°,点和点分别落在点和点处,那么直线的解析式是__________.
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【题目】阅读与应用:
阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为 ,所以 ,从而 (当a=b时取等号).
阅读2:函数 (常数m>0,x>0),由阅读1结论可知: ,所以当 即 时,函数 的最小值为 .
阅读理解上述内容,解答下列问题:
(1)问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为 ,周长为 ,求当x=时,周长的最小值为 .
(2)问题2:已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=x2+2x+17(x>-1),当x=时, 的最小值为 .
(3)问题3:某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资6400元;二是学生生活费每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)
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【题目】如图,将一个矩形纸片,放置在平面直角坐标系中,,是边上一点,将沿直线对折,得到.
(1)当平分时,求的度数和点的坐标.
(2)连接,当时,求的面积.
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