Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB' ，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若AB=2．

①如图2，当点B' 落在AC上时，求t的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t值？若不存在，请说明理由.

（2）若四边形ABCD是正方形，直线PB'与直线CD相交于点M，当点P不与点C重合时，求证：∠PAM=45°.

Answer 1

【答案】（1）①t=2－4；②存在，t=2；t=6；t=2；（2）详见解析

【解析】

（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出即可解决问题．

②分三种情形分别求解即可：如图2-1中，当∠PCB′=90°时．如图2-2中，当∠PCB′=90°时．如图2-3中，当∠CPB′=90°时．

（2）如图3-1中，当t<3时，由四边形ABCD是正方形，证明△MDA≌△MB’A，即可得到结论，如图3-2中，当t>3时，设∠APB=x，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．

解：（1）①如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°， ∴

∵∠PCB′=∠ACB，∠PB′C=∠ABC=90°，

∴△PCB′∽△ACB，

∴

∴

∴

∴

②如图2-1中，当∠PCB′=90°时，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，AB=CD= AD=BC=3，

∴

∴

在Rt△PCB′中，∵

∴

∴

如图2-2中，当∠PCB′=90°时，

在Rt△ADB′中，，

在Rt△PCB′中则有：

解得t=6．

如图2-3中，当∠CPB′=90°时，则

则四边形为正方形，

综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或s．

（2）如图3-1，当t<3时，

又∵翻折，

∴∠1=∠2，AB=AB’，∠B=∠AB’P

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=AB’ ，∠D=∠B=∠AB’P= 90°

∵AM=AM

∴△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠3=∠4

∴∠2+∠3=45°，

即∠PAM=45°

　　　（图3-1）

如图3-2，当t>3时，设∠APB=x

∴∠PAB=90°－x

∴∠DAP＝x

同理：△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠B’AM＝∠DAM

∵翻折

∴∠PAB＝∠PAB’＝90°－x

∴∠DAB’＝∠PAB’－∠DAP＝90°－2x

∴∠DAM＝∠DAB’＝45°－x

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°

（图3-2）