Question

【题目】如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一电缆，共有如下两种铺设方案：

方案一：； 方案二：.

经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.

（1）求出河宽AD（结果保留根号）；

（2）求出公路CD的长；

（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）6-2千米；（2）14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低.

【解析】

（1）如图所示，过点作，交的延长线于点，由于，，故利用三角形外角等于不相邻两个内角和知，即在直角三角形中，知道斜边求邻边用余弦得（千米），又（千米），所以可求出的值；

（2）过点作于后，由矩形知，由勾股定理知千米，有千米；

（3）由（2）得，方案一的铺设费用为：万元，方案二的铺设费用为：万元.故方案一的铺设电缆费用低.

（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．

由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，
BF=ABsin60°=4×=6（千米），
AF=ABcos60°=4×=2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2（千米）．
即河宽AD为（6-2）千米；
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG＝=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元．
∵40＜32+8，
∴方案一的铺设电缆费用低．