Question

【题目】如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，抛物线y=﹣2x2+bx+c过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（3）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上是否存在一点F，使∠FEO与∠EAO互补，若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+2x+4；（2）不存在点P，使四边形MNPD为菱形；理由见解析；（3）存在，点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补．

【解析】

（1）求出直线y=﹣2x+4与x轴、y轴交点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）利用函数解析式求出抛物线的顶点M的坐标为（，），求出MN的长度，

设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），求出PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，根据平行四边形的性质列PD=MN求出m，得到PN==，由PN≠MN确定不存在满足条件的点P；

（3）过点F作FH⊥y轴于点H，则∠FEO+∠FEH=180°，当∠FEO+∠EAO=180°时，推出∠FEH=∠EAO，证明△AOE∽△∠EFH，得到，再分两种情况：当点F在y轴右侧时，点F在y轴左侧时，分别将线段长度代入比例式求出t即可.

解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，

∴点A（2，0），点B（0，4），

把A（2，0），B（0，4）分别代入y=﹣2x2+bx+c中得

，

解之得，

∴抛物线解析式为：y=﹣2x2+2x+4；

（2）不存在．

理由如下：y=﹣2x2+2x+4=（x-）2+，

∴抛物线顶点M（，），

当x=时，y==-3，

∴MN=﹣3=，

设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，

解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1），

∵PN==，

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

（3）存在.

如图，过点F作FH⊥y轴于点H，则∠FEO+∠FEH=180°，

当∠FEO+∠EAO=180°时，∠FEH=∠EAO，

∵∠FHE=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△∠EFH，

∴，

设点F（t，﹣2t2+2t+4)，则HE=﹣2t2+2t+4﹣1=﹣2t2+2t+3，

当点F在y轴右侧时，HF=t，

∴，

解之得：t=，

∵点F在y轴右侧，

∴t=，

当点F在y轴左侧时，BF=-t，

∴，

解之得：t=，

∵点F在y轴左侧

∴t=．

综上所述：当点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补.