【题目】如图,抛物线经过点A(3,0),B(,0),与y轴交于点C,点P是抛物线在第四象限内的一点.
(1)求抛物线解析式;
(2)点D是线段OC的中点,OP⊥AD,点E是射线OP上一点,OE=AD,求DE的长;
(3)连接CP,AP,是否存在点P,使得OP平分四边形ABCP的面积?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1),(2),(3)(,)
【解析】
(1)抛物线的表达式为:,故,解得:,即可求解;
(2)过E点作交OC于点,利用易证,则可根据AAS证明得到,可得与点重合,则有,得到是等腰直角三角形,可求得;
(3)根据OP平分四边形ABCP的面积,有,设P的横坐标为x,则纵坐标为:,得到,化简即可得出P点的坐标.
解:(1)抛物线的表达式为:,
则有:,解得:,
故抛物线的表达式为:;
(2)过E点作交OC于点,
又(1)可知,抛物线的表达式为,
∴C的坐标为:(0,-3),
∴,
∵,
∴
∵
∴
在和中
∴
∴,,
∴,
即与点重合,
∴
又∵点D是线段OC的中点,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴;
(3)答:存在点P,使得OP平分四边形ABCP的面积.
证明:设P的横坐标为x,则纵坐标为:,
根据OP平分四边形ABCP的面积,
有:,
即:
∴
解之得:,(不合题意,舍去),
∴纵坐标为:,
∴P的坐标为:(2,-3).
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【题目】某校为了解学生的安全意识情况,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,根据调查结果,把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次调查一共抽取了 名学生,其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)该校有1800名学生,现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育,根据调查结果,估计全校需要强化安全教育的学生约有 名.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=﹣1,与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0),其中0<x2<1,有下列结论:①b2﹣4ac>0;②4a﹣2b+c>﹣1;③﹣3<x1<﹣2;④当m为任意实数时,a﹣b≤am2+bm;⑤3a+c=0.其中,正确的结论有( )
A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④
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【题目】有4张相同的卡片分别写着数字﹣1、2、﹣3、4,将卡片的背面朝上,并洗匀.从中任意抽取1张,并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的k;再从余下的卡片中任意抽取1张,并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的b.则这个一次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率是_______.
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(3)如图2,点E(0,1)在y轴上,连接AE,抛物线上是否存在一点F,使∠FEO与∠EAO互补,若存在,求点F的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(抗击疫情)为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头,各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“听课不停学”的要求,各地学校也都开展了远程网络教学,某校集中为学生提供四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论,为了了解学生的需求,该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图。
(1)本次调查的人数有多少人?
(2)请补全条形图;
(3)请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数;
(4)小宁和小娟都参加了远程网络教学活动,请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率.
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【题目】如图,已知直线与双曲线交于 A、B 两点,且点A的横坐标.
(1)求 k 的值;
(2)若双曲线 上点 C 的纵坐标为 3,求△AOC 的面积;
(3)在 y 轴上有一点 M,在直线 AB 上有一点 P,在双曲线上有一点 N,若四边形OPNM 是有一组对角为 60°的菱形,请写出所有满足条件的点 P 的坐标.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(﹣2,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值>反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c与直线交于点A和点E,点A在x轴上.抛物线y=ax2+x+c与x轴另一个交点为点B,与y轴交于点C(0,),直线与y轴交于点D.
(1)求点D的坐标和抛物线y=ax2+x+c的函数表达式;
(2)动点P从点B出发,沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P到达点A时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为t秒,连接AC、CQ、PQ.
①当△APQ是以AP为底边的等腰三角形时,求t的值;
②在点P、Q运动过程中,△ACQ的面积记为S1,△APQ的面积记为S2,S=S1+S2,当S=时,请直接写出t的值.
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