Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA=OC，∠AOC=60°，且CB∥OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．
（1）直接写出点P的坐标是（3，$\sqrt{3}$）；
（2）若一次函数y=x+b的图象经过点P，求b的值；
（3）若一次函数y=x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明CA是∠BCO的平分线，又根据OB是∠AOC的平分线，即可证明P是AC的中点，首先求得C的坐标，则P的坐标即可求解；
（2）把P的坐标代入解析式即可求得b的值；
（3）首先求得一次函数y=x+m经过A和C时m的值，则m的取值范围即可求解．

解答 解：（1）∵OB平分∠AOC，OA=OC，
∴AC⊥OB，
∵OA∥BC，
∴∠OBC=∠AOB，
又∵∠AOB=∠BOC，
∴∠BOC=∠OBC，
∴CO=CB，
又∵AC⊥OB，
∴CA平分∠BCO，
又∵点P到四边形OABC四条边的距离相等．
∴P就是AC和OB的交点．
作CD⊥OA于点D．
在直角△OCD中，CD=OCsin∠AOC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，CD=CO•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
则C的坐标是（2，2$\sqrt{3}$）．
∴P的坐标是（$\frac{2+4}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}+0}{2}$），即（3，$\sqrt{3}$）．
故答案是：（3，$\sqrt{3}$）；
（2）把（3，$\sqrt{3}$）代入y=x+b得3+b=$\sqrt{3}$，解得b=$\sqrt{3}$-3；
（3）当y=x+m经过点A时，把（4，0）代入得4+m=0，解得m=-4，
当y=x+m经过点C（3，$\sqrt{3}$）时，则3+m=$\sqrt{3}$，解得m=$\sqrt{3}$-3．
则当$\sqrt{3}$-3＜m＜-4．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式与角平分线的性质，利用三角函数求得C的坐标，正确证明P是AC的中点是关键．