Question

16．已知二次函数y=x²+（2a+1）x+（a-2）²，a取何值时：
（1）抛物线与x轴有两个交点？
（2）抛物线与x轴只有一个交点？
（3）抛物线与x轴无交点？

Answer 1

分析 （1）抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，解不等式求解；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，则判别式△=0，解方程即可；
（3）抛物线与x轴无交点，则判别式△＜0，解不等式求解．

解答 解：△=（2a+1）²-4（a-2）²=4a²+4a+1-4（a²-4a+4）=20a-15．
（1）20a-15＞0，解得a＞$\frac{3}{4}$；
（2）20a-15=0，解得：a=$\frac{3}{4}$；
（3）20a-15＜0，解得：a＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．