Question

4．如图，已知AE=CF，AB∥DC，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连结DF，BE，猜想DF和BE的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到AF=CE，根据平行线的性质得到∠BAC=∠ACD，根据垂直的定义得到∠AFB=∠CED=90°，推出△ABF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到DE=BF；
（2）根据△ABF≌△CDE，得到AB=CD，然后根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠ACD，
∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在△ABF与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ECD}\\{AF=CE}\\{∠AFB=∠CED}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴DE=BF；

（2）DF=BE，
∵△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，
在△ABE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．