Question

12．如图，直线y₁=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；
（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q，使△QCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令解析式y=-$\frac{1}{2}$x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；
（2）设出M点的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+2），就可以表示出P的坐标，由四边形PCDB的面积=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于Q₁，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点Q₂，Q₃，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论．

解答 解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B（4，0），C（0，2）；
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
即该二次函数的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，
设M（a，-$\frac{1}{2}$a+2），P（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤x≤4）．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，0），
∵S_{四边形PCDB}=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$PM•CE+$\frac{1}{2}$PM•BN，
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a），
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$
∴a=2时，S_{四边形PCDB的面积最大}=$\frac{13}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴点P坐标为：（2，3），
∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为$\frac{13}{2}$；


（3）如图2，∵抛物线的对称轴是x=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=$\frac{5}{2}$．
∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，
∴CQ₁=DQ₂=DQ₃=CD．
如图2所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EQ₁=ED=2，
∴DQ₁=4．
∴Q₁（$\frac{3}{2}$，4），Q₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．