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【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+cx轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C/

(1)求抛物线C的函数表达式;

(2)若抛物线C/与抛物线Cy轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.

(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C/上的对应点P/,设MC上的动点,NC/上的动点,试探究四边形PMP/N能否成为正方形?若能,请直接写出m的值;若不能,请说明理由.

【答案】(1);(2)2<m;(3)m=6m=﹣3.

【解析】

试题(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A,0),设抛物线的解析式为,把A,0)代入可得a=,由此即可解决问题;

(2)由题意抛物线C的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C的解析式为,由,消去y得到,由题意,抛物线C与抛物线Cy轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解不等式组即可解决问题;

(3)情形1,四边形PMPN能成为正方形.作PEx轴于EMHx轴于H.由题意易知P(2,2),当PFM是等腰直角三角形时,四边形PMPN是正方形,推出PF=FMPFM=90°,易证PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得Mm+2,m﹣2),理由待定系数法即可解决问题;情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得Mm﹣2,2﹣m),利用待定系数法即可解决问题.

试题解析:(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A,0),设抛物线的解析式为,把A,0)代入可得a=∴抛物线C的函数表达式为

(2)由题意抛物线C的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C的解析式为,由,消去y得到 ,由题意,抛物线C与抛物线Cy轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解得2<m∴满足条件的m的取值范围为2<m

(3)结论:四边形PMPN能成为正方形.

理由:1情形1,如图,作PEx轴于EMHx轴于H

由题意易知P(2,2),当PFM是等腰直角三角形时,四边形PMPN是正方形,∴PF=FMPFM=90°,易证PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣mMm+2,m﹣2),∵点M上,∴,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍弃),∴m=﹣3时,四边形PMPN是正方形.

情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得Mm﹣2,2﹣m),把Mm﹣2,2﹣m)代入中,,解得m=60(舍弃),∴m=6时,四边形PMPN是正方形.

综上所述:m=6m=﹣3时,四边形PMPN是正方形.

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