Question

15．已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD，连接BC、BD． 
（1）如图①，若∠CBD=20°，求∠A的大小；
（2）如图②，连接OC，若OC=BD，求证四边形OCDB是菱形；
（3）如图③，AB=4，AC=1，求BD的长（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）由AC=CD，可知∠ABC=∠CBD=20°，由AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可求出∠A的大小；
（2）由AC=CD，可知∠AOC=2∠ABC=∠ABD，可得出OC∥BD，又OC=BD，所以四边形OCDB是平行四边形，由OC=OB，所以四边形OCDB是菱形；
（3）连接OC，作OE⊥BD，AF⊥OC，OH⊥AC，在△AOC中，根据勾股定理和三角形面积不变性，求出AF，易证AF=OE，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE．

解答 解：（1）∵AC=CD，
∴∠ABC=∠CBD=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=70°；
（2）∵AC=CD，
∴∠AOC=2∠ABC=∠ABD，
∴OC∥BD，
又∵OC=BD，
∴四边形OCDB是平行四边形，
∵OC=OB，
∴四边形OCDB是菱形；
（3）如答图③，连接OC，作OE⊥BD，AF⊥OC，OH⊥AC，
∵AB=4，
∴OC=OA=2，
∵OH⊥AC，AC=1，
∴AH=$\frac{1}{2}$，
在Rt△AHO中，OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵AC•OH=OC•AF，
∴$\frac{\sqrt{15}}{2}$=2AF，
∴AF=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵OE⊥BD，AF⊥OC，
∴∠AFO=∠OEB=90°，
在△AOF和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠OEB}\\{∠AOF=∠OBE}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△OBE，
∴OE=AF=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
∴BD=2BE=$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理及其推论、菱形的判定与性质、勾股定理、垂径定理的综合运用，第3小题是本题的难点，通过辅助线构造高线和垂径定理的条件是解决问题的关键．