Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M为x正半轴上一点，⊙M与x轴交A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A点的坐标为（-1，0），M点的坐标为（1，0）．P是BC上的一个动点，Q为PC中点，直线BP、DQ交于点K，以下两个结论：①

BK

DK

的值不变；②BK的长度不变，哪一个结论正确？请证明．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：②BK的长度不变正确，连接BD，BC，BQ，CQ，求出∠CQB=∠KQB，∠CBQ=∠KBQ，证△CQB≌△KQB，推出BK=BC，求出BC长即可．

解答：解：BK的长度不变正确；
理由是：连接BD，BC，BQ，CQ，
∵Q为

PC

中点，
∴

CQ

=

PQ

，
∴∠CBQ=∠KBQ，
∵CD⊥AM，AM过圆心M，
∴

AC

=

AD

，

BC

=

BD

，
∴

BD

+

CD

=

BC

+

CD

，
∴∠CQB=∠QBD+∠QDB，
∵∠KQB=∠QDB+∠QBD，
∴∠CQB=∠KQB，
在△CQB和△KQB中，

∠CQB=∠KQB BQ=BQ ∠CBQ=∠KBQ

∴△CQB≌△KQB（ASA），
∴BK=BC，
∵∠COB=90°，OC=

3

，BO=1+2=3，
∴由勾股定理得：BC=

( 3 )2+32

=2

3

，
即不管P如何移动，BK的值不变，都等于2

3

．

点评：本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难点是如何作辅助线．