Question

如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和相⊙O切于点A、B，C是劣弧

AB

上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知△PDE的周长为8cm，∠DOE=70°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x²-10x+k=0的两根．
（1）求∠P的度数；
（2）求PA的长；
（3）求四边形DEMN的周长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OA、OB，根据切线长定理和切线定理可推出∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，从而可求出∠AOB，在四边形PAOB中，利用四边形内角和定理就可求出∠P．
（2）根据切线长定理可得到DA=DC，EC=EB，PA=PB，从而可得到C_△PDE=2PA，根据条件就可求出PA的长．
（3）根据切线长定理可得到NA=NF，MF=MB，EB=EC，DA=DC，从而得到MN+DE=ND+EM．然后只需根据根与系数的关系求出DN+EM的值，就可解决问题．

解答：解：（1）连接OA、OB，如图．
∵PA、PB、DE分别和⊙O相切于点A、B、C，
∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∠OAD=∠OCD=∠OCE=∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，
∴∠AOB=2∠DOE=2×70°=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

（2）∵PA、PB、DE分别和⊙O相切于点A、B、C，
∴DA=DC，EC=EB，PA=PB，
∴C_△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+BE+PE=PA+PB=2PA，
∵C_△PDE=8，∴PA=4，
∴PA的长为4cm．

（3）∵PN、PM、DE、MN分别和⊙O相切于点A、B、C、F，
∴NA=NF，MF=MB，EB=EC，DA=DC，
∴MN+DE=NF+MF+DC+EC=NA+MB+DA+EB=ND+EM．
∵DN、EM的长是方程x²-10x+k=0的两根，
∴DN+EM=10，∴MN+DE=10，
∴四边形DEMN的周长为20．

点评：本题主要考查了切线长定理和切线的性质、四边形的内角和定理、根与系数的关系、等角的余角相等等知识，运用切线的性质和切线长定理是解决本题的关键．