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【题目】如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D在边AB上运动,DE平分∠CDB交边BC于点EEMBDMENDCN

(1)当ADCD时,求证DE//AC

(2)当∠MBE与△CNE的某一个内角相等时,求AD的长;

(3)当四边形MEND与△BDE的面积相等时,求AD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)

【解析】试题分析:(1)由等腰三角形的性质得出∠A=∠DCA,由三角形的外角性质和角平分线得出得出∠C=∠BDE,即可得出结论;(2)存在以下两种情况①当∠B=∠ECN时;②当∠B=∠CNE时,根据相似三角形的性质即可求得;(3)根据四边形MEND与△BDE的面积相等,得到△DME与△BME的面积相等.证明△BME∽△BCA,△CDE∽△CBD,即可解答.

试题解析:

(1)证明:∵ADCD,  

∴∠A=∠ACD.   

∵∠CDB=∠A+∠ACD

∴∠CDB=2∠A.   

DE平分∠CDB

∴∠BDECDB=∠A

DEAC.     

(2)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,

AB=5.    

EMBDENCD

∴∠BME=∠CNE=90°.

存在以下两种情况

①当∠B=∠ECN

CDBD

∵∠B+∠A=90°,∠ECN+∠ACD=90°,

∴∠A=∠ACD

CDAD

ADBD

②当∠B=CNE

NEAB

∴∠ADC=∠CNE=90°.

∴∠ADC=∠ACB.  

∵∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC

(3)∵∠EDN=∠EDM,∠DNE=∠DME=90°,DEDE

∴△DNE≌△DME

∵四边形MEND与△BDE的面积相等,

∴△DME与△BME的面积相等.

DMBM.  

EMBD

DEBE

∴∠B=∠BDE=∠CDE

∵∠B=∠B,∠BME=∠ACB=90°,

∴△BME∽△BCA

∵∠DCE=∠DCB

∴△CDE∽△CBD

CD.      

CE

∴BD=

∴BE=

∴AD=AB-BD=5-=

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