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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx22mx3m≠0)与y轴交于点A,与x轴交于点BC(BC的左侧)

1)求点A的坐标和对称轴

2)若∠ACB45°,求此抛物线的表达式;

3)在(2)的条件下,对称轴上是否存在一点P,使PAB的周长最小?若存在,求出P点坐标和PAB的周长,若不存在,请说明理由。

【答案】1A0-3)对称轴x=1;(2y=x2-2x-3;(3P1-2),+

【解析】

1)令x=0可求出点A坐标,根据对称轴公式即可求出对称轴;

2)根据∠ACB45°可得,△AOC为等腰直角三角形,所以OA=OC,再根据A点坐标即可求出C点坐标,最后将C点坐标代入表达式求出m即可解答;

3)根据BC关于对称轴对称,所以连接AC,与对称轴的交点即为P,根据AC点坐标求出AC的表达式,据此可求出点P坐标,再根据ABC的坐标求周长即可.

解:(1)令x=0可得,y=3

A0,-3),对称轴

故:A0,-3),对称轴x=1

2)∵∠ACB=45°

∴△AOC为等腰直角三角形,

OA=OC

由(1)知,A0,-3),则OA=3,

C30

将点C 代入表达式得m=1,则y=x22x3

3)如图,点B与点C关于对称轴对称,

∴连接AC交对称轴于点P 此时PA+PB最小,最小值为AC

AC+AB即为周长最小值,

根据A0,-3),C30),求得AC表达式为:y=x3AC=

x=1代入y=x3得,y=2,则P1,-2),

C30),且BC关于对称轴x=1对称,

B(-10

AB=

∴周长为:.

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