【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C(B在C的左侧)
(1)求点A的坐标和对称轴
(2)若∠ACB=45°,求此抛物线的表达式;
(3)在(2)的条件下,对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出P点坐标和△PAB的周长,若不存在,请说明理由。
【答案】(1)A(0,-3)对称轴x=1;(2)y=x2-2x-3;(3)P(1,-2),+
【解析】
(1)令x=0可求出点A坐标,根据对称轴公式即可求出对称轴;
(2)根据∠ACB=45°可得,△AOC为等腰直角三角形,所以OA=OC,再根据A点坐标即可求出C点坐标,最后将C点坐标代入表达式求出m即可解答;
(3)根据B、C关于对称轴对称,所以连接AC,与对称轴的交点即为P,根据A、C点坐标求出AC的表达式,据此可求出点P坐标,再根据A、B、C的坐标求周长即可.
解:(1)令x=0可得,y=-3,
∴A(0,-3),对称轴,
故:A(0,-3),对称轴x=1;
(2)∵∠ACB=45°,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴OA=OC,
由(1)知,A(0,-3),则OA=3,
∴C(3,0)
将点C 代入表达式得m=1,则y=x2-2x-3;
(3)如图,点B与点C关于对称轴对称,
∴连接AC交对称轴于点P, 此时PA+PB最小,最小值为AC,
∴AC+AB即为周长最小值,
根据A(0,-3),C(3,0),求得AC表达式为:y=x-3,AC=
将x=1代入y=x-3得,y=-2,则P(1,-2),
∵C(3,0),且B、C关于对称轴x=1对称,
∴B(-1,0)
∴AB=,
∴周长为:.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线相交于A(2,3),B两点,P是第一象限内的双曲线上在意一点,直线PA交x轴于点M,连接PB交x轴于点N,若∠APN = 90°,则PM的长为______.
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【题目】如图,将半径为4的沿弦折叠,圆上点折叠后恰好与圆点重合,连接并延长交于点,连接.点为弧上一点,、分别为线段、上一动点,则周长的最小值为___________.
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【题目】已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的实数).
其中正确结论的序号有 .
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【题目】如图,在 Rt△ABC 中BC=2,以 BC 的中点 O 为圆心的⊙O 分别与 AB,AC 相切于 D,E 两点,的长为( )
A.B.C.πD.2π
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【题目】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A,求∠B与∠C的度数之和;
(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;
(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG=2时,求⊙O的直径.
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【题目】某单位为了创建城市文明单位,准备在单位的墙(线段MN所示)外开辟一处长方形的土地进行绿化美化,除墙体外三面要用栅栏围起来,计划用栅栏50米.
(1)不考虑墙体长度,问长方形的各边的长为多少时,长方形的面积最大?
(2)若墙体长度为20米,问长方形面积最大是多少?
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【题目】如图,要在宽为22米的大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳,求路灯的灯柱BC高度.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,过点C作CF⊥AE于F,DE交CF于G,则四边形ADGF的周长是( )
A.8B.4+4C.8+D.8
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