【题目】如图,将半径为4的沿弦折叠,圆上点折叠后恰好与圆点重合,连接并延长交于点,连接.点为弧上一点,、分别为线段、上一动点,则周长的最小值为___________.
【答案】
【解析】
如图,首先求出∠ACB=60°,作P关于AC、BC的对称点G、S,连接GS交AC、BC于M、N,可得 的周长=GS,由中位线定理可得EF= GS,证明C、E、P、F四点共圆,根据∠ECF=60°求出EF= CP,可得当CP取最小值时,EF取最小值,此时GS取最小值,即 的周长取最小值,连接PC、PO’、CO’,可得当P、K重合时CP取最小值,解直角△AO’C求出CO’,进而可得CP的最小值,然后由已证得的等量关系可得答案.
解:如图:连接AO’,
由折叠可得,△AOO’是等边三角形,OO’⊥AB,
∵∠ABC=90°,
∴OO’∥BC,
∴∠ACB=∠AOO’=60°,
作P关于AC、BC的对称点G、S,连接GS交AC、BC于M、N,
则此时的周长=PM+PN+MN=MG+NS+MN=GS,
∵E、F分别是PG、PS的中点,
∴EF=GS,
∴当EF取最小值时,GS取最小值,即的周长取最小值,
∵∠PEC=∠PFC=90°,
∴C、E、P、F四点共圆且直径为CP,
∵∠ECF=60°,易得EF=CP·sin60°=CP,
故当CP取最小值时,EF取最小值,
连接PC、PO’、CO’,可知,PC+ PO’>CO’,
∵CO’=CK+ O’K,且O’K=PO’,
∴PC>CK,
故当P、K重合时CP取最小值,此时CP=CK=CO’-O’K,
∵AC是直径,
∴AC=8,∠AO’C=90°,
∴CO’=AC·sin60°=8×=,
∴CP=CK=CO’-O’K=,
∴EF=CP=,
∴GS=2EF=,
即周长的最小值为:,
故答案为:.
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【题目】如图,△ABC中,AB=BC,CE∥AB,以AB为直径作⊙O,当CE是⊙O的切线时,切点为D.
(1)求:∠ABC的度数;
(2)若CD=3,求AC的长度.
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【题目】如图1,ABCD是边长为1的正方形,O是正方形的中心,Q是边CD上一个动点(点Q不与点C、D重合),直线AQ与BC的延长线交于点E,AE交BD于点P.设DQ=x.
(1)填空:当时,的值为 ;
(2)如图2,直线EO交AB于点G,若BG=y,求y关于x之间的函数关系式;
(3)在第(2)小题的条件下,是否存在点Q,使得PG∥BC?若存在,求x的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度米,顶点距水面米(即米),小孔顶点距水面米(即米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,则此时大孔的水面宽度长为( )
A. 米 B. C. 米 D. 米
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A,与y轴相交于点B,AB=2.点P在抛物线上,线段AP与y轴的正半轴交于点C,线段BP与x轴相交于点D,设点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式表示线段CO的长;
(3)当tan∠ODC=时,求∠PAD的正弦值.
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【题目】小华从二次函数y=ax2+bx+c的图象(如图)中观察得到了下面五条信息:
①abc>0 ②2a﹣3b=0 ③b2﹣4ac>0 ④a+b+c>0 ⑤4b<c
则其中结论正确的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24
(1)求CD的长;
(2)现汛期来临,水面要以每小时4 m的速度上升,则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C(B在C的左侧)
(1)求点A的坐标和对称轴
(2)若∠ACB=45°,求此抛物线的表达式;
(3)在(2)的条件下,对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出P点坐标和△PAB的周长,若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,∠BCD=60°,E为对角线AC上一点,且AE=AB,F为CE的中点,接DF、BF,BG⊥BF与AC交于点G;
(1)若AB=2,求EF的长;
(2)求证:CG﹣EF=BG.
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