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【题目】如图,将半径为4沿弦折叠,圆上点折叠后恰好与圆点重合,连接并延长交于点,连接.为弧上一点,分别为线段上一动点,则周长的最小值为___________.

【答案】

【解析】

如图,首先求出∠ACB60°,作P关于ACBC的对称点GS,连接GSACBCMN,可得 的周长=GS,由中位线定理可得EF GS,证明CEPF四点共圆,根据∠ECF60°求出EF CP,可得当CP取最小值时,EF取最小值,此时GS取最小值,即 的周长取最小值,连接PCPO’CO’,可得当PK重合时CP取最小值,解直角AO’C求出CO’,进而可得CP的最小值,然后由已证得的等量关系可得答案.

解:如图:连接AO’

由折叠可得,AOO’是等边三角形,OO’AB

∵∠ABC90°

OO’BC

∴∠ACB=∠AOO’60°

P关于ACBC的对称点GS,连接GSACBCMN

则此时的周长=PM+PN+MN=MG+NS+MNGS

EF分别是PGPS的中点,

EFGS

∴当EF取最小值时,GS取最小值,即的周长取最小值,

∵∠PEC=∠PFC90°

CEPF四点共圆且直径为CP

∵∠ECF60°,易得EFCP·sin60°CP

故当CP取最小值时,EF取最小值,

连接PCPO’CO’,可知,PC+ PO’CO’

CO’CK+ O’K,且O’KPO’

PCCK

故当PK重合时CP取最小值,此时CPCKCO’O’K

AC是直径,

AC8,∠AO’C90°

CO’AC·sin60°

CPCKCO’O’K

EFCP

GS2EF

周长的最小值为:

故答案为:.

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(1)填空:当时,的值为   

(2)如图2,直线EOAB于点G,若BG=y,求y关于x之间的函数关系式;

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