Question

【题目】“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是个；图2中黑点个数是个；图3中黑点个数是个；…，所以容易求出图8、图中黑点的个数分别是______、_________．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：

（1）第6个点阵中有______个圆圈；第个点阵中有______个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．

Answer 1

【答案】48；6n；（1）91；；（2）会；第11个点阵

【解析】

根据规律可求得图8中黑点个数和图n中黑点个数；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第3个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第6个点阵中6为一块，分为15块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1；
（2）令3n2-3n+1=331，方程有解则存在这样的点阵，据此解答.

解：图8中黑点个数是6×8=48个；图n中黑点个数是6n个；

（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=19个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=61个，

第6个点阵中有：6×15+1=91个，
…
第n个点阵中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1，
故答案为：91，3n2-3n+1；

（2）3n2-3n+1=331，
n2-n-110=0，
（n-11）（n+10）=0，
n1=11，n2=-10（舍），
∴小圆圈的个数会等于331，它是第11个点阵．