Question

1．已知：如图，在△ABC中，CB=CA，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BD=1，cosB=$\frac{1}{2}$，求$\widehat{DB}$的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理证得CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质得出AD=BD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，证得DE⊥DO，即可证得结论；
（2）证得△OBD是等边三角形，求得圆心角和半径，根据弧长公式即可求得．

解答 解：（1）连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵cosB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，OB=OD=BD=1，
∴$\widehat{DB}$的长=$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质、平行线的判定和性质，解题的关键是连接圆心和切点（有可能是要证明的切点）得垂直（证明垂直）．