Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．

（1）问题发现

当a＝0°时，AF＝　 ，BE＝　 ，＝　 ；

（2）拓展探究

试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（3）问题解决

当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）5，4，；（2）的大小无变化，理由见解析；（3）BE＝或BE＝．

【解析】

（1）根据勾股定理分别计算AF和BE的长可解答；

（2）如图2，连接AC，证明△CEF∽△CBA，得，再证明△ACF∽△BCE，可解答；

（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：连接AC，先计算AF的长，证明△ACF∽△BCE，列比例式可得BE的长．

（1）当a＝0°时，如图1，过F作FG⊥AD，交AD的延长线于G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，

∵∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，

∴四边形DEFG是矩形，

∴DG＝EF＝3，

∴AG＝8+3＝11，

∵CE＝4，CD＝6，

∴FG＝DE＝6﹣4＝2，

Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝，

Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝，

∴，

故答案为，，；

（2）的大小无变化，理由如下：如图2，连接AC，

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，

∴，，

∴，

∵∠CEF＝∠ABC＝90°，

∴△CEF∽△CBA，

∴，∠ECF＝∠ACB，

∴，

∴∠ACF＝∠BCE，

∴△ACF∽△BCE，

∴，即的大小无变化；

（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：

①如图3，连接AC，

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝10，

Rt△CEF中，CE＝4，EF＝3，

∴CF＝5，

∴，，

∴，

∵∠FEC＝∠ABC，

∴△ABC∽△FEC，

∴∠ACB＝∠ECF，

∴∠BCE＝∠ACF，

∵，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

Rt△AEC中，AE＝，

∴AF＝AE+EF＝+3，

∴BE＝；

②如图4，连接AC，

同理得：△AFC∽△BEC，

∴，

AF＝AE﹣EF＝﹣3，

∴BE＝，

综上，BE＝或BE＝．