Question

5．已知：如图，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．
（1）求△ABD的面积；
（2）求证：AD=DE；
（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可；
（2）延长AC、BE交于点F，求出△ABE≌△AFE，根据全等得出AB=AF=3AC，BE=EF，求出S_△ABF=12S，S_△ABE=S_△AFE=6S，S_△BDE=S_△ABD，即可得出答案；
（3）在BD上截取DH=CD，连接EH，证△ADC≌△EDH，根据全等得出AC=EH，根据三角形三边关系定理得出即可．

解答 （1）解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵_△ABD=$\frac{1}{2}×$AB×DM，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DN，
∵AB=3AC，△ACD的面积是S，
∴△ABD的面积为3S；

（2）证明：
延长AC、BE交于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AE，
∴∠BEA=∠FEA=90°，
在△ABE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF=3AC，BE=EF，
∴S_△ABF=3_△ABC，
∵S_△ABD=3S，
∴S_△ABC=4S，
∴S_△ABF=12S，
∵BE=EF，
∴S_△ABE=S_△AFE=6S，
∴S_△BDE=S_△ABE-S_△ABD=6S-3S=3S=S_△ABD，
∴AD=DE；

（3）BE-AC＜BD-CD，
证明：在BD上截取DH=CD，连接EH，
∵在△ADC和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠EDH}\\{DC=DH}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDH（SAS），
∴AC=EH，
在△BEH中，BE-EH＜BH，
∴BE-AC＜BD-DH，
即 BE-AC＜BD-CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的三边关系定理，三角形的面积的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．