Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝．

（1）求弦AC的长；

（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；

（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）2；（3）秒或秒

【解析】

（1）先利用特殊角的三角函数求出∠A，进而求出AC；

（2）先求出∠BOC＝60°，进而得出∠D＝30°，进而求出OD，即可求出BD，即可得出结论；

（3）先判断出点P在线段AB上，点Q在线段BC上，再分∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，最后用三角函数建立方程求解即可得出结论．

解：（1）∵⊙O的直径AB＝10，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴∠A＝30°，

∴AC＝ABcosA＝10cos30°＝10×＝5，

即弦AC的长为5；

（2）如图1，连接OC，

由（1）知，∠A＝30°，

∴∠BOC＝2∠A＝60°，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，

∴∠D＝90°﹣60°＝30°，

∵OB＝OC＝AB＝5，

∴OD＝2OC＝10，

∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5，

∵AB＝kBD，

∴k＝＝＝2，

即k的值为2；

（3）在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，

∴BC＝AB＝5，

由运动知，AP＝3t，BQ＝，

∵0＜t＜，

∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，

∴点P在线段AB上，点Q在线段BC上，

∵△BPQ为直角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，

①当∠BQP＝90°时，如图2，

在Rt△BQP中，BP＝AB﹣AP＝10﹣3t，BQ＝t，∠ABC＝60°，

∴cos∠ABC＝＝＝，

∴t＝，

②当∠BPQ＝90°时，如图3，

在Rt△BPQ中，cos∠ABC＝＝＝，

∴t＝，

即当t为秒或秒时，△BPQ为Rt△．