Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点，点E在第一象限且四边形ACBE为矩形．

（1）求∠BCE的度数；

（2）如图2，F为线段BC上一动点，P为第四象限内抛物线上一点，连接CP、FP、BP、EF，M，N分别是线段CP，FP的中点，连接MN，当△BCP面积最大，且MN+EF最小时，求PF的长度；

（3）如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜180°），点A，C的对应点分别为A'，C'，直线A'C'与x轴交于点G，G在x轴正半轴上且OG=．线段KH在直线A'C'上平移（ K在H左边），且KH=5，△KHC是否能成为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点K的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）PF=；（3）满足条件的点K的坐标为K（， ）或（， ）或（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】试题分析：（1）在Rt△OBC中，tan∠OBC=，推出∠OBC=30°，由四边形ACBE是矩形，得出QB=QC，可得∠BCE=∠QBC=30°；

（2）如图2中，作CD⊥y轴，FH⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于点F′，设P（m， ），根据S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC，构建二次函数，由重合时的性质确定点P的坐标，由CM=MP，FN=P，推出MN=CF，在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，FH=CF，得出FH=MN，进而得出MN+EF=EF+FH，从而知F与F′H与H′重合时，MN+EF的值最小，求出点F的坐标即可；

（3）如图3中，作OM⊥KH与M，直线KH交y轴于点P，作CN⊥KH于N，，确定直线KH的解析式，求出点N的坐标，分三种情况分别求解即可解决问题.

试题解析：（1）如图1中，设AB交CE于Q．

令y=0，得到x2﹣﹣3=0，

解得x=﹣或3，

∴A（﹣，0），B（3，0），

在Rt△OBC中，tan∠OBC==，

∴∠OBC=30°，

∵四边形ACBE是矩形，

∴QB=QC，

∴∠BCE=∠QBC=30°．

（2）如图2中，作CD⊥y轴，FH⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于F′．

设P（m， m2﹣m﹣3），

S△PBC=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×3×m+×3×（﹣m2+m+3）﹣×3×3

=﹣m2+m

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，﹣），

∵CM=MP，FN=NP，

∴MN=CF，

在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，

∴FH=CF，

∴FH=MN，

∴MN+EF=EF+FH，

∴当F与F′重合，H与H′重合时，MN+EF的值最小．

易知E（2，3），F′（2，﹣1），

∴PF==．

（3）如图3中，作OM⊥KH于M，直线KH交y轴于P，作CN⊥KH于N．

在Rt△OMG中，易知，OM=，OM=，

∴MG==2，

∵tan∠POG==，

∴=，

∴OP=，

∴直线PG的解析式为y=﹣x+，

∵CN⊥PG，

∴直线CN的解析式为y=x﹣3，

由，解得，

∴N（，），

①当CK=CH时，NK=NH=，

点N向上平移个单位，向左平移2个单位得到K，

∴K（，）．

②当CK=KH时，设K（m，﹣m+），

∴m2+（﹣m++3）2=52，

解得m=，

∴K（，）或（，），

③当CH=KH=5时，同法可得H（，）或（，），

点H向上平移3个单位，向左平移4个单位得到K，

∴K（，）或（，），

综上所述，满足条件的点K的坐标为K（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．