Question

【题目】已知，AB是⊙O的直径，E、F是⊙O上的点，连接AE、AF、EF，BC是⊙O的切线，过点A作AD∥BC．

（1）如图1，求证：∠DAF＝∠AEF；

（2）如图2，若AD＝BC＝AB，连接CD，延长AF交CD于G，连接CF，若FC＝BC＝4，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

（1）如图1，连接BF，根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，推出∠ABF=∠DAF，等量代换即可得到结论；
（2）如图2，连接OF，OC，根据全等三角形的性质得到∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，推出∠BAG=∠BOC，得到四边形ABCD是正方形，于是得到AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，根据全等三角形的性质得到AD=BC=4，DG=BO=2，根据勾股定理得到AG==.

（1）证明：如图1，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DAF+∠BAF＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∴∠ABF+∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAF，

∵∠AEF＝∠ABF，

∴∠AEF＝∠DAF；

（2）解：如图2，连接OF，OC，

在△CBO与△CFO中，

，

∴△CBO≌△CFO（SSS），

∴∠OFC＝∠ABC＝90°，∠BOC＝∠FOC，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∵∠OAF＝，∠BOC＝，

∴∠BAG＝∠BOC，

∵AD＝BC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠BAG＝∠DGA＝∠BOC，

在△ADG与△CBO中，

，

∴△ADG≌△CBO（AAS），

∴AD＝BC＝4，DG＝BO＝2，

∴AG＝＝2．