Question

如图，在^△ABC 中，^∠A=90°，AB=AC，O 是 BC 的中点，如果在 AB 和 AC 上分别有一个动 点 M、N 在移动，且在移动时保持 AN=BM．

（1）请你判断^△OMN 的形状，并说明理由． 若 BC=2 ，则 MN 的最小值为    ．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）连接 OA，只需证^△OAN^≌△OBM 即可迅速得出结论；

取 NM 中点 D，连接 OD、AD，则根据（1）中结论可知 MN=OD+AD，而 OD+AD≥OA，即 OA 就 是 MN 的最小值．

【解答】解：（1）^△OMN 是等腰直角三角形． 理由：连接 OA，如图 1，

^∵在^△ABC 中，^∠A=90°，AB=AC，O 是 BC 的中点，

^∴AO=BO=CO，^∠B=^∠C=45°；

在^△OAN 和 OBM 中，

，

^∴△OAN^≌△OBM（SAS），

^∴ON=OM，^∠AON=^∠BOM；

又^∵∠BOM+^∠AOM=90°，

^∴∠NOM=^∠AON+^∠AOM=90°，

^∴△OMN 是等腰直角三角形；

取 MN 的中点 D，连接 OD，AD，如图 2，

^∵∠MON=^∠NAM=90°，

^∴OD=OA= MN，

^∴MN=OD+AD，

^∵OD+AD≥AO，

^∴MN≥AO，

^∴MN 的最小值为 AO，

^∵BC=2      ，

^∴AO=      ，

^∴MN 的最小值为， 故答案为： ．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线 定理、三角形三边关系等知识点，难度适中．“中点”是本题的题眼，在初中阶段，与“中点”的几何知 识并不多，同学们可自行总结一下“中点”有限几种用法，今后再遇到与“中点”有关的几何题目，就会 反应迅速，作出辅助线也就很容易．